纯度（Purity）

问题入口：簇名本身没有含义

聚类算法把 8 张学习卡片分成若干簇。老师手里还有参考答案：每张卡片真实属于 graph、tree 或 hash。

算法输出的簇名 A、B、C、D 是任意的。不能因为名字叫 A，就把它当成某个真实类别。

第一个朴素想法：直接比较簇名

如果把 A、B、C、D 当作类别标签，分数会依赖算法随便取的名字。

这不合理。把簇 A 改名成 Z，聚类质量不应该改变。

核心发明：每个簇找自己的多数标签

纯度（Purity）对每个预测簇问一个局部问题：

这个簇里最多的是哪一种参考标签？

然后把这些多数计数加起来，再除以样本总数。

形式化版本

设 C_k 是第 k 个预测簇，L_j 是第 j 个参考标签，n 是样本数。

直观读法：每个簇只保留其中最大的那堆参考标签。

在固定样本中：

交互实验台

切换预设，比较纯度、Rand 指数、调整 Rand 指数和 Fowlkes-Mallows 指数的反应。

无脚本静态表：

纯度的问题：过度拆分也会很高

纯度奖励“干净”的簇，但它对拆得太碎的情况惩罚不够。

如果每个样本都单独成簇，那么每个簇都是纯的，纯度会变成 1.0。这并不代表算法找回了有用的组。

实现草图

function purity(items: { cluster: string; label: string }[]) {
  const counts = new Map<string, Map<string, number>>();

  for (const item of items) {
    const row = counts.get(item.cluster) ?? new Map<string, number>();
    row.set(item.label, (row.get(item.label) ?? 0) + 1);
    counts.set(item.cluster, row);
  }

  let kept = 0;
  for (const row of counts.values()) {
    kept += Math.max(...row.values());
  }

  return items.length === 0 ? null : kept / items.length;
}

复杂度

构建“簇 × 标签”的计数表需要 O(n) 时间。额外空间是 O(rc)，其中 r 是实际出现的预测簇数，c 是实际出现的参考标签数。

常见误区

• 纯度是外部聚类指标，因为它需要参考标签。
• 纯度不是准确率：簇名是任意的，每个簇要先找自己的多数标签。
• 高纯度不一定代表好聚类，尤其是过度拆分时。

练习

1. 固定样本中，哪个簇只贡献了 1/2？
2. 为什么单点过度拆分能得到纯度 1.0？
3. 如果把簇 C 和 D 合并，纯度会怎样变化？

图谱连接 : 纯度