Calinski-Harabasz 指数

问题入口：概括整幅几何图

轮廓系数逐点观察。Calinski-Harabasz 指数（CH）问一个更粗的摘要问题：

簇中心之间是否足够远，而每个簇内部是否足够紧？

它仍然是内部聚类指标。它使用几何和簇分配，不使用参考标签。

第一个朴素想法：只看簇内离散度

簇内离散度小是好事，但还不够。

三个很小但几乎重叠的簇，不应该和三个分散在平面各处的小簇得到同样评价。

核心发明：簇间离散度除以簇内离散度

CH 使用两个量：

• W_k：簇内离散度，即每个点到自己簇质心的平方距离之和。
• B_k：簇间离散度，即每个簇质心到全局质心的平方距离，并按簇大小加权。

形式化版本

对 n 个点、k 个簇：

直观地说：分子奖励彼此远离的簇中心；分母惩罚远离自己簇中心的点。

CH 越高越好。当 k < 2、n <= k，或簇内离散度为零时，本实现返回不可用。

交互实验台

实现草图

function calinskiHarabasz(between: number, within: number, n: number, k: number) {
  if (k < 2 || n <= k || within === 0) return null;
  return (between / (k - 1)) / (within / (n - k));
}

复杂度

已知簇分配后，计算质心和平方距离和对固定维度点是 O(n)。如果维度可变，需要再乘上维度因子。

常见误区

• CH 是越高越好，这一点和 Davies-Bouldin 相反。
• CH 不是外部指标；它不知道真实标签。
• 平方距离会让远离簇中心的点产生更大影响。

练习

1. 簇质心彼此变远时，公式中的哪一部分会增大？
2. 每个簇被拉长时，哪一部分会增大？
3. 为什么 n <= k 是退化情况？

图谱连接 : Calinski-Harabasz 指数